考研张宇数学听课笔记（一）高等数学初始

前言

为了防止意外情况，开始准备第二条路（后路）

基本初等函数经过有限次四则运算和复合得来，就是初等函数

△心形线（描点法）
△星形线（内摆线）
△摆线（平摆线）

玫瑰线
阿基米德螺线
伯努利双纽线

函数：对于每个值x属于给定数集D，有一个确定的值y与之对应，y具有唯一性

反函数：一个函数y=f(x)定义域为D，值域为R，如果对于每一个y∈R，必存在x∈D，使得y=f(x)成立，因此x=ρ（y）就是y=f(x)的反函数

复合函数 (出题老师喜欢出):设y=f(u)的定义域为D1，函数u = g(x)在D上有定义，且G（D）属于D1，则
y = f[g(x)] (x∈D）
确定的函数，称为由函数 u =g(x)和函数 y = f(u)构成的复合函数，u称为中间变量

双曲正弦函数： x=[e^x-e^(-x)]/2
双曲余弦函数： x=[e^x+e^(-x)]/2

有界还是无界的讨论首先指明区间，不知道区间无法讨论有界性
比如 y = 1/x在（2，+无穷）内有界，在（0,2）内无界

给定函数f(x)定义域为D，D内有子区间I，如果对于区间I上任意两点x1,x2,当x1<x2时总是有f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间I上单调递增，否则为单调递减
不过一般用求导来讨论函数在某个区间上的单调性

偶函数图形关于y轴对称
奇函数图形关于原点对称

设f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D，有 x±T∈D，且f(x+T) = f(x),则称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期

1.函数求导后，奇偶性互换（奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为偶函数）
2.连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数
3.连续的奇函数的所有原函数都是偶函数
4.若f(x)在有限区间（a,b）内可导且f'(x)有界，则f(x)在(a,b)内有界

遇到诸如 u1u2u..un = u的函数，可用lnu，就变成了求和了

正割函数 sec x 与余割函数 csc x
sec x = 1/sin x
csc x = 1/cos x

arcsin x + arccosx = π/2
三角函数理论上是没有反函数的，但是反三角函数是取了三角函数中一段连续区间

		1   x>0
y = sgn x =	0   x=0	
		-1  x<0

称为符号函数，对于任何实数x,有 x = |x|sgnx

一般有以下三种方式

1.平移变换
- 左右平移（左加右减)
  将函数 y = f(x)的图像向左平移x0(x0>0)个单位长度，得到函数`y = f(x+x0)的图像，反之同理可推
- 上下平移（太简单不解释)
2.对称变换
- f(x)关于x轴对称得到 -f(x)
- f(x)关于y轴对称得到 f(-x)
- 关于原点对称, 得到-f(-x)
- 关于y=x对称，得到函数 y = f-1(x)
- 保留函数y=f(x)在x轴以及x轴上方的部分，将下部分关于x轴对称，得到函数y = |f(x)|
- 保留y=f(x)在y轴右侧以及y轴的部分，将左侧关于y轴对称，得到函数 y = f(|x|)
3.伸缩变换（增减缩扩)
- 水平伸缩(给自变量乘以k倍) 得到 y=f(kx)
- 垂直伸缩(给因变量乘以k倍) 得到 y=kf(x)