考研 张宇数学 听课笔记(一) 高等数学初始

2020-07-30   43 次阅读


前言

为了防止意外情况,开始准备第二条路(后路)

高数预备知识

函数的概念与特性

  • 有界性
  • 单调性
  • 奇偶性
  • 周期性

画图

  • 直角坐标系,x,y
  • 极坐标系 r,θ
  • 写不出x与y,r和θ的关系,用参数法,一个参数t来联系x与y

基本初等函数经过有限次四则运算和复合得来,就是初等函数

△心形线(描点法)
△星形线(内摆线)
△摆线(平摆线)

玫瑰线
阿基米德螺线
伯努利双纽线

1.函数的概念与特性

函数:对于每个值x属于给定数集D,有一个确定的值y与之对应,y具有唯一性

反函数:一个函数y=f(x)定义域为D,值域为R,如果对于每一个y∈R,必存在x∈D,使得y=f(x)成立,因此x=ρ(y)就是y=f(x)的反函数

复合函数 (出题老师喜欢出):设y=f(u)的定义域为D1,函数u = g(x)在D上有定义,且G(D)属于D1,则
y = f[g(x)] (x∈D)
确定的函数,称为由函数 u =g(x)和函数 y = f(u)构成的复合函数,u称为中间变量

双曲正弦函数x=[e^x-e^(-x)]/2
双曲余弦函数x=[e^x+e^(-x)]/2

有界性

有界还是无界的讨论首先指明区间,不知道区间无法讨论有界性
比如 y = 1/x在(2,+无穷)内有界,在(0,2)内无界

单调性

给定函数f(x)定义域为D,D内有子区间I,如果对于区间I上任意两点x1,x2,当x1<x2时总是有f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间I上单调递增,否则为单调递减
不过一般用求导来讨论函数在某个区间上的单调性

  • 单调增函数 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)] >0
  • 单调减函数 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)] <0
  • 单调不减函数 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)] <=0
  • 单调不增函数 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)] >=0

奇偶性

偶函数图形关于y轴对称
奇函数图形关于原点对称

周期性

设f(x)的定义域为D,如果存在一个正数T,使得对于任意x∈D,有 x±T∈D,且f(x+T) = f(x),则称f(x)为周期函数,T为f(x)的周期

重要结论

1.函数求导后,奇偶性互换(奇函数的导数为偶函数,偶函数的导数为偶函数)
2.连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数
3.连续的奇函数的所有原函数都是偶函数
4.若f(x)在有限区间(a,b)内可导且f'(x)有界,则f(x)在(a,b)内有界

遇到 诸如 u1u2u..un = u的函数,可用lnu,就变成了求和了

三角函数

正割函数 sec x 与 余割函数 csc x
sec x = 1/sin x
csc x = 1/cos x

反三角函数

arcsin x + arccosx = π/2
三角函数理论上是没有反函数的,但是反三角函数是取了三角函数中一段连续区间

符号函数

		1   x>0
y = sgn x =	0   x=0	
		-1  x<0

称为符号函数,对于任何实数x,有 x = |x|sgnx

图像变换

一般有以下三种方式

  • 1.平移变换
    • 左右平移(左加右减)
      将函数 y = f(x)的图像向左平移x0(x0>0)个单位长度,得到函数`y = f(x+x0)的图像,反之同理可推
    • 上下平移(太简单不解释)
  • 2.对称变换
    • f(x)关于x轴对称得到 -f(x)
    • f(x)关于y轴对称得到 f(-x)
    • 关于原点对称, 得到-f(-x)
    • 关于y=x对称,得到函数 y = f-1(x)
    • 保留函数y=f(x)在x轴以及x轴上方的部分,将下部分关于x轴对称,得到函数y = |f(x)|
    • 保留y=f(x)在y轴右侧以及y轴的部分,将左侧关于y轴对称,得到函数 y = f(|x|)
  • 3.伸缩变换(增减缩扩)
    • 水平伸缩(给自变量乘以k倍) 得到 y=f(kx)
    • 垂直伸缩(给因变量乘以k倍) 得到 y=kf(x)

直角坐标系总结

  • 基本初等函数
  • 分段函数
  • 图像变换

2.极坐标图像

使用(r,θ), 极径r, 极角θ

1.描点法画常见图像

通过描多个点来组成图形
1.心形线(外摆线)
r=a(1-cosθ) (a>0)

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心形线可用来考计算面积(积分)

2.玫瑰线
r=asin3θ (a>0)

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3.阿基米德线
r=aθ (a>0 θ>0)

3.PNG

从θ为0到一定角度围成的面积(积分)

3.伯努利双扭线
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设定线段AB长度为2a,动点M满足 MA·MB =a*a,那么M的轨迹为双牛先
取AB为x轴,中点为原点,则A,B坐标分别为(-a,0),(a,0),设M(x,y),有
4.PNG

2.用直角坐标系的思想画图(通过之前说的图像变换)

3.参数法,参数方程

6.PNG
实际问题中很难找到曲线满足f(x,y)=0或者g(r,θ)=0
引入一个新变量来表示曲线方程

1.摆线(平摆线)[16年]
当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时,动圆圆周上的一个定点的轨迹
7.PNG
t就是与初始状态相比累计转动的弧度

2.心形线(内摆线)[18年]
一个小⚪J在一个固定的大圆K内纯滚动,如果大圆半径是小圆半径的4倍,那么小圆圆周上任一点M的轨迹称为星形线
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其中t是任意时刻摆点与原点连线之间形成的夹角
8.PNG

Q.E.D.

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