一、函数极限与连续

邻域

以点x0为中心的任何开区间，称为点x0的邻域，记为U(x0)

一维情况

• δ邻域 设δ为一个整数，则开区间(x0-δ,x0+δ)为点x0 的δ邻域，记为 U(x0,δ)
• 去心邻域：把中间那个点去掉

二维情况

• δ邻域，以δ为半径，以P0为半径的圆的整体，相当于一个圆
• 去心δ邻域，把圆心扣掉

邻域通常表示的是一个局部位置

函数极限

设函数f(x)在点x0的某一个去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的ε>0（不论其多么小）总存在整数δ，使得当 0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) - A| < ε,则A就叫做函数f(x) 当 x->x0时的极限

性质(非常重要)

• 唯一性，如果极限存在，则极限唯一
• 局部有界性
• 局部保号性

自变量取值的双向性（有正有负）

• 对于x趋向于无穷，意味着x->∞，且 x->-∞
• 对于x->x0,意味着x->x0+, 且x->x0-这个细节的问题为自变量取值的“双向性（有正有负）”

如果存在两个极限，则该函数极限不存在，极限的唯一性性质
注意：取整函数 [x]，其中的lim(x=0) [x] 也是不存在的

有界不一定代表极限存在，极限存在必定有界

局部有界性

• 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界
• 有界函数与有界函数的和，差，积仍然为有界函数（有限次运算）

拉格朗日中值定理

f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)

• 如果f'(x)≡0，则f(x)为常数
• 如果f'(x)->+∞，则f(x)->+∞

用导数的大小控制函数值的大小，因为导数是函数的变化率
想要控制函数的大小，一个是有限的区间，一个是有界的变化率

极限运算规则

若lim f(x) = A, lim g(x) = B, 那么

• lim[k f(x) ± lg(x)] = klim f(x) ± l lim g(x) = kA ± tB，其中k,l为常数
• lim[f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x) = A·B,特别的如果当lim f(x) 存在，n为正整数，则lim[f(x)]n = [lim f(x)]n

夹逼准则

如果f(x),g(x) 和h(x)满足下列条件
① g(x) <= f(x) <= h(x)
② lim g(x) = A, lim h(x) = A
则lim f(x) 存在，且 lim f(x) = A

泰勒公式

sinx = x - (x3/3!) +o(x3)
后面这个o(x3)称作佩亚诺余项，微不足道
为何sinx的展开没有偶数次方的项
因为sinx为奇函数，如果展开项中含有偶数次项，那么性质就混乱了

无穷小

• 有限个无穷小的和是无穷小
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
• 有限个无穷小的乘积是无穷小

运算法则

设m和n为正整数，则

• o(x^m) ± o(x^n) = o(x^l), l = min{m,n}(加减法时低阶吸收高阶)
• o(x^m) * o(x^n) = o(x^(m+n)) ,x^m * o(x^n) = o(x^(m+n)) 乘法时阶数“累加”
• `o(x^m) = o(kx^m) = k * o(x^m), k!=0且为常数

几个技巧点

• o(x^2) - o(x^3) = o(x^2)
• o(x^3) + o(x^3) = o(x^3)
• o(x^3) - o(x^3) = o(x^3)

归结原则（只用不证）

海涅原则

0是最高阶无穷小

也就是说可以用两个极限相同的数列，然后求出来的极限不同，可以证明该函数极限不存在

这个原则可以用来求数列的极限，将数列转化为函数即可

无穷小比阶

无穷小

如果当x->x0(或者x->∞）时，函数f(x)的极限为零，那么称函数f(x)为当x->xn(或者x->∞)时的无穷小

以0为极限的数列称为 n->∞ 时的无穷小

无穷大

如果当x->x0(或者x->∞)时，函数|f(x)|无限增大，那么称函数f(x)为当x->xn(或者r->∞)时的无穷大

无穷大是一个过程，而不是很大的数，没有一个点会等于无穷大（经典错误）

并不是任意两个无穷小都可以进行比阶
如果A比B高价无穷小，意味着A更小（A趋于0的速度更快）

七种未定式的计算

1.化简

• 提出极限不为0的因式
• 等价无穷小代换
• 恒等变形（提公因式，拆项，合并，分子分母同除变量的最高次幂，换元法）

∞-∞

• 如果

u^v:幂指函数

设置分母有原则，简单因式才下放

已知极限求另一个极限

已知极限求参数

最好不要洛必达，最多求导一次

函数的连续性

连续点的定义：设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，且有lim(x->x0)f(x) = f(x0),则称函数f(x)在点x0处连续

前提都是f(x)在x0的某去心邻域内有定义，如果该点任意一侧区域内没有定义，就没有谈论连续性的必要了

1-1 可去间断点

若lim(x->x0) f(x) = A ≠ f(x0)
(f(x0)甚至可以无定义），则这类间断点称为可去间断点

过程有了，点有了，但是不相等
只要修改或者补充f(x0),可以使得函数在点x0处连续

1-2 跳跃间断点

若lim(x->x0-) f(x) 与 lim(x->x0+) f(x) 都存在，但两者不相等，证明极限不存在，则这类间断点称为跳跃间断点

以上两个间断点就是第一类间断点

2-1 无穷间断点

若lim(x->x0) f(x) = ∞，则这类间断点称为无穷间断点，比如函数 y=1/x 的点 x=0 处称为无穷间断点

2-2 振荡间断点

若lim(x->x0)f(x) 振荡不存在，则这类间断点称为震荡间断点

二、一元函数微分学

导数的定义

y = f(x) 在 点x0处可导，也就是说明该函数在点x0处导数存在

单侧导数

其中上面那个和下面那个分别称为f(x)在点x0处的左导数和右导数，统称为单侧导数
因此函数f(x)在x0处可导的充分必要条件是其左导数和右导数均存在而且相等

考研数学中，无穷倒数视为导数不存在(就是左右导数都存在且为正无穷）

导数的几何意义

y=f(x)是在点x0处的到数值f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0.y0)处切线的斜率k

分段函数的倒数

Q.E.D.