一、函数极限与连续
邻域
以点x0为中心的任何开区间,称为点x0的邻域,记为U(x0)
一维情况
- δ邻域 设δ为一个整数,则开区间
(x0-δ,x0+δ)
为点x0 的δ邻域,记为 U(x0,δ) - 去心邻域:把中间那个点去掉
二维情况
- δ邻域,以δ为半径,以P0为半径的圆的整体,相当于一个圆
- 去心δ邻域,把圆心扣掉
邻域通常表示的是一个局部位置
函数极限
设函数f(x)在点x0的某一个去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的ε>0(不论其多么小)总存在整数δ,使得当 0<|x-x0|<δ
时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) - A| < ε
,则A就叫做函数f(x) 当 x->x0
时的极限
性质(非常重要)
- 唯一性,如果极限存在,则极限唯一
- 局部有界性
- 局部保号性
自变量取值的双向性(有正有负)
- 对于x趋向于无穷,意味着
x->∞
,且x->-∞
- 对于
x->x0
,意味着x->x0+
, 且x->x0-
这个细节的问题为自变量取值的“双向性(有正有负)”
如果存在两个极限,则该函数极限不存在,极限的唯一性性质
注意:取整函数 [x]
,其中的lim(x=0) [x]
也是不存在的
有界不一定代表极限存在,极限存在必定有界
局部有界性
- 设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界
- 有界函数与有界函数的和,差,积仍然为有界函数(有限次运算)
拉格朗日中值定理
f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)
- 如果
f'(x)≡0
,则f(x)为常数 - 如果
f'(x)->+∞
,则f(x)->+∞
用导数的大小控制函数值的大小,因为导数是函数的变化率
想要控制函数的大小,一个是有限的区间,一个是有界的变化率
极限运算规则
若lim f(x) = A, lim g(x) = B
, 那么
lim[k f(x) ± lg(x)] = klim f(x) ± l lim g(x) = kA ± tB
,其中k,l为常数lim[f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x) = A·B
,特别的如果当lim f(x) 存在,n为正整数,则lim[f(x)]n = [lim f(x)]n
夹逼准则
如果f(x),g(x) 和h(x)满足下列条件
① g(x) <= f(x) <= h(x)
② lim g(x) = A, lim h(x) = A
则lim f(x) 存在,且 lim f(x) = A
泰勒公式
sinx = x - (x3/3!) +o(x3)
后面这个o(x3)称作佩亚诺余项,微不足道
为何sinx的展开没有偶数次方的项
因为sinx为奇函数,如果展开项中含有偶数次项,那么性质就混乱了
无穷小
- 有限个无穷小的和是无穷小
- 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
- 有限个无穷小的乘积是无穷小
运算法则
设m和n为正整数,则
o(x^m) ± o(x^n) = o(x^l)
, l = min{m,n}(加减法时低阶吸收高阶)o(x^m) * o(x^n) = o(x^(m+n))
,x^m * o(x^n) = o(x^(m+n))
乘法时阶数“累加”- `o(x^m) = o(kx^m) = k * o(x^m), k!=0且为常数
几个技巧点
o(x^2) - o(x^3) = o(x^2)
o(x^3) + o(x^3) = o(x^3)
o(x^3) - o(x^3) = o(x^3)
归结原则(只用不证)
海涅原则
0是最高阶无穷小
也就是说可以用两个极限相同的数列,然后求出来的极限不同,可以证明该函数极限不存在
这个原则可以用来求数列的极限,将数列转化为函数即可
无穷小比阶
无穷小
如果当x->x0(或者x->∞)时,函数f(x)的极限为零,那么称函数f(x)为当x->xn(或者x->∞)时的无穷小
以0为极限的数列称为 n->∞ 时的无穷小
无穷大
如果当x->x0(或者x->∞)时,函数|f(x)|无限增大,那么称函数f(x)为当x->xn(或者r->∞)时的无穷大
无穷大是一个过程,而不是很大的数,没有一个点会等于无穷大(经典错误)
并不是任意两个无穷小都可以进行比阶
如果A比B高价无穷小,意味着A更小(A趋于0的速度更快)
七种未定式的计算
1.化简
- 提出极限不为0的因式
- 等价无穷小代换
- 恒等变形(提公因式,拆项,合并,分子分母同除变量的最高次幂,换元法)
∞-∞
- 如果
u^v
:幂指函数
设置分母有原则,简单因式才下放
已知极限求另一个极限
已知极限求参数
最好不要洛必达,最多求导一次
函数的连续性
连续点的定义:设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义,且有lim(x->x0)f(x) = f(x0)
,则称函数f(x)在点x0处连续
前提都是f(x)在x0的某去心邻域内有定义,如果该点任意一侧区域内没有定义,就没有谈论连续性的必要了
1-1 可去间断点
若lim(x->x0) f(x) = A ≠ f(x0)
(f(x0)甚至可以无定义),则这类间断点称为可去间断点
过程有了,点有了,但是不相等
只要修改或者补充f(x0),可以使得函数在点x0处连续
1-2 跳跃间断点
若lim(x->x0-) f(x) 与 lim(x->x0+) f(x) 都存在,但两者不相等,证明极限不存在,则这类间断点称为跳跃间断点
以上两个间断点就是第一类间断点
2-1 无穷间断点
若lim(x->x0) f(x) = ∞,则这类间断点称为无穷间断点,比如函数 y=1/x 的点 x=0 处称为无穷间断点
2-2 振荡间断点
若lim(x->x0)f(x) 振荡不存在,则这类间断点称为震荡间断点
二、一元函数微分学
导数的定义
y = f(x) 在 点x0处可导,也就是说明该函数在点x0处导数存在
单侧导数
其中上面那个和下面那个分别称为f(x)在点x0处的左导数和右导数,统称为单侧导数
因此函数f(x)在x0处可导的充分必要条件是其左导数和右导数均存在而且相等
考研数学中,无穷倒数视为导数不存在(就是左右导数都存在且为正无穷)
导数的几何意义
y=f(x)是在点x0处的到数值f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0.y0)处切线的斜率k
分段函数的倒数
Q.E.D.
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