考研 张宇数学 听课笔记(二) 函数极限

2020-07-30   66 次阅读


一、函数极限与连续

邻域

以点x0为中心的任何开区间,称为点x0的邻域,记为U(x0)

一维情况

  • δ邻域 设δ为一个整数,则开区间(x0-δ,x0+δ)为点x0 的δ邻域,记为 U(x0,δ)
  • 去心邻域:把中间那个点去掉

二维情况

  • δ邻域,以δ为半径,以P0为半径的圆的整体,相当于一个圆
  • 去心δ邻域,把圆心扣掉

邻域通常表示的是一个局部位置

函数极限

设函数f(x)在点x0的某一个去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的ε>0(不论其多么小)总存在整数δ,使得当 0<|x-x0|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) - A| < ε,则A就叫做函数f(x) 当 x->x0时的极限

性质(非常重要)

  • 唯一性,如果极限存在,则极限唯一
  • 局部有界性
  • 局部保号性

自变量取值的双向性(有正有负)

  • 对于x趋向于无穷,意味着x->∞,且 x->-∞
  • 对于x->x0,意味着x->x0+, 且x->x0-这个细节的问题为自变量取值的“双向性(有正有负)”

如果存在两个极限,则该函数极限不存在,极限的唯一性性质
注意:取整函数 [x],其中的lim(x=0) [x] 也是不存在的

有界不一定代表极限存在,极限存在必定有界

局部有界性

  • 设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界
  • 有界函数与有界函数的和,差,积仍然为有界函数(有限次运算)

拉格朗日中值定理

f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)

  • 如果f'(x)≡0,则f(x)为常数
  • 如果f'(x)->+∞,则f(x)->+∞

用导数的大小控制函数值的大小,因为导数是函数的变化率
想要控制函数的大小,一个是有限的区间,一个是有界的变化率

极限运算规则

lim f(x) = A, lim g(x) = B, 那么

  • lim[k f(x) ± lg(x)] = klim f(x) ± l lim g(x) = kA ± tB,其中k,l为常数
  • lim[f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x) = A·B,特别的如果当lim f(x) 存在,n为正整数,则lim[f(x)]n = [lim f(x)]n

夹逼准则

如果f(x),g(x) 和h(x)满足下列条件
g(x) <= f(x) <= h(x)
lim g(x) = A, lim h(x) = A
则lim f(x) 存在,且 lim f(x) = A

泰勒公式

sinx = x - (x3/3!) +o(x3)
后面这个o(x3)称作佩亚诺余项,微不足道
为何sinx的展开没有偶数次方的项
因为sinx为奇函数,如果展开项中含有偶数次项,那么性质就混乱了

无穷小

  • 有限个无穷小的和是无穷小
  • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
  • 有限个无穷小的乘积是无穷小

运算法则

设m和n为正整数,则

  • o(x^m) ± o(x^n) = o(x^l), l = min{m,n}(加减法时低阶吸收高阶)
  • o(x^m) * o(x^n) = o(x^(m+n)) ,x^m * o(x^n) = o(x^(m+n)) 乘法时阶数“累加”
  • `o(x^m) = o(kx^m) = k * o(x^m), k!=0且为常数

几个技巧点

  • o(x^2) - o(x^3) = o(x^2)
  • o(x^3) + o(x^3) = o(x^3)
  • o(x^3) - o(x^3) = o(x^3)

归结原则(只用不证)

海涅原则

1.PNG
0是最高阶无穷小

也就是说可以用两个极限相同的数列,然后求出来的极限不同,可以证明该函数极限不存在

这个原则可以用来求数列的极限,将数列转化为函数即可

无穷小比阶

无穷小

如果当x->x0(或者x->∞)时,函数f(x)的极限为零,那么称函数f(x)为当x->xn(或者x->∞)时的无穷小

以0为极限的数列称为 n->∞ 时的无穷小

无穷大

如果当x->x0(或者x->∞)时,函数|f(x)|无限增大,那么称函数f(x)为当x->xn(或者r->∞)时的无穷大

无穷大是一个过程,而不是很大的数,没有一个点会等于无穷大(经典错误)
2.PNG

并不是任意两个无穷小都可以进行比阶
如果A比B高价无穷小,意味着A更小(A趋于0的速度更快)

七种未定式的计算

1.化简

  • 提出极限不为0的因式
  • 等价无穷小代换
  • 恒等变形(提公因式,拆项,合并,分子分母同除变量的最高次幂,换元法

∞-∞

  • 如果

u^v:幂指函数

设置分母有原则,简单因式才下放

已知极限求另一个极限

已知极限求参数

最好不要洛必达,最多求导一次

函数的连续性

连续点的定义:设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义,且有lim(x->x0)f(x) = f(x0),则称函数f(x)在点x0处连续

前提都是f(x)在x0的某去心邻域内有定义,如果该点任意一侧区域内没有定义,就没有谈论连续性的必要了

1-1 可去间断点

lim(x->x0) f(x) = A ≠ f(x0)
(f(x0)甚至可以无定义),则这类间断点称为可去间断点

过程有了,点有了,但是不相等
只要修改或者补充f(x0),可以使得函数在点x0处连续

1-2 跳跃间断点

若lim(x->x0-) f(x) 与 lim(x->x0+) f(x) 都存在,但两者不相等,证明极限不存在,则这类间断点称为跳跃间断点

以上两个间断点就是第一类间断点

2-1 无穷间断点

若lim(x->x0) f(x) = ∞,则这类间断点称为无穷间断点,比如函数 y=1/x 的点 x=0 处称为无穷间断点

2-2 振荡间断点

若lim(x->x0)f(x) 振荡不存在,则这类间断点称为震荡间断点

二、一元函数微分学

导数的定义

3.PNG

y = f(x) 在 点x0处可导,也就是说明该函数在点x0处导数存在

单侧导数

4.PNG
其中上面那个和下面那个分别称为f(x)在点x0处的左导数和右导数,统称为单侧导数
因此函数f(x)在x0处可导的充分必要条件是其左导数和右导数均存在而且相等

考研数学中,无穷倒数视为导数不存在(就是左右导数都存在且为正无穷)

导数的几何意义

y=f(x)是在点x0处的到数值f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0.y0)处切线的斜率k

分段函数的倒数

Q.E.D.

知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议